Някой в сметки се оплита,чуди се къде греши, възелът се в миг разплита, задачата щом друг реши. :)

Моля за помощ

За кой клас е тази задача?

За 7ми клас.

60 градуса е отговора.
Построяваме NL успоредна на AD. Получават се успоредницо ALND и LBMD (лесно се доказва). Съжалявам, че не ми е удобно да покажа чертеж). Изразяваме АB и се получава 3MN, a AD=2MN. Tака намираме MN=6 cm. DL=BM=12 cm. В триъгълника ALD, всички страни са по 12 см => е равностранен и BAD e 60 градуса.

Достигам до същия отговор, като доказвам, че триъгълниците МВС и АND са равнобедрени.От там AD=BC=DN=MC. Триъгълникът MBC се оказва и равностранен и т. н.
Пиша от телефон и затова не мога по-подробно.

W, твоето решение е най-елегантно.
С Русалка сме тръгнали по по-дълги пътища за по-кратко.

Благодаря на всички Ви, страхотни сте

Солничка, не е дълъг пътят, детайлно разписан е  просто Задачата иначе  е от графата "лесни"/"стандартни" за успоредник. Да не говорим, че ако не е за разписване, а е с буквен отговор за заграждане,  човек автоматично ползва основната задача, че ъглополовяща в упоредник отсича равнобедрен триъгълник.  И я е спретенал задачката на два реда.

И аз да попитам за една задача от седми клас, че седим с една приятелка и се чудим : триъгълник АВС, ъгъл С=80 гр., АС=ВС, т.М вътрешна за триъгълника, така че ъгъл МАВ=10 гр., ъгъл АВМ=30 гр., колко е ъгъл АМС.
Благодаря ви предварително

Отговор: 70^о

Ще маркирам решение:

От < АСВ = 80^о и АС = ВС следва, че < ВАС = < АВС = 50^о, откъдето, < МАС = 40^о.

Построяваме равностранен триъгълник АВХ така, че точките С и Х да бъдат в една полуравнина спрямо правата АВ. Тогава < САХ = 10^о.

Точките Х и С лежат на симетралата на отсечката АВ и следователно правата ХС е ъглополовяща на < АХВ, т.е. < АХС = 30^о.

От АВ = АХ, < МАВ = < САХ = 10^о и < АВМ = < АХС = 30^о следва, че триъгълниците АВМ и АХС са еднакви, т.е. АМ = АС и триъгълникът АМС е равнобедрен, откъдето, < АМС = < АСМ = 70^о.

Благодаря много, Ант12!

Още едно, подобно решение:

Построяваме равностранен триъгълник AYC така, че точките С и Y са в различни полуравнини спрямо правата АВ.

Имаме AY = YC = AC = BC и < YAB = 10^o.

Триъгълникът YBC е равнобедрен (YC = BC) и < YCB = 20^o, следователно, < YBC = < BYC = 80^o, откъдето, < YBA = 30^o.

Триъгълниците AYB и AMB са еднакви, защото АВ е обща страна, < YAB = < MAB = 10^o и < YBA = < MBA = 30^o.

Следователно, АМ = АY = AC, т.е. триъгълникът АМС е равнобедрен и < АМС = 70^о.


И още едно:

Построяваме равностранен триъгълник BCZ така, че точките С и Z са в различни полуравнини относно правата АВ.

От ZC = BC = AC (триъгълникът AZC е равнобедрен) и <  ACZ = < ACB – ZCB = 20^o имаме, че < ZAC = < AZC = 80^o, откъдето, < ZAB = 30^o.

От < ZAB = < MBA = 30^o следва, че АZ││BM.

< ZBA = < ZBC - < ABC = 10^o = < ВАМ и следователно, ZB││AM.

От АZ││BM и ZB││AM следва, че AZBM e успоредник, откъдето АМ = ZB = BC = AC и < АМС = 70^о.


Решение без равностранни триъгълници.

Лема: Нека XYZ e триъгълник, за който < XYZ = <YXZ = 80^o (XZ = YZ) и < XZY = 20^о. Върху страната YZ е взета точка Т такава, че TZ = XY. Да се докаже, че < XTY = 30^o.

Доказателство на лемата:

Нека М е точка върху страната YZ такава, че < YXM = 20^o. Тогава < XMY = 80^o и следователно ХМ = XY.

Нека N е точка върху страната XZ такава, че < XMN = 60^o. От < XMN = < MXN = 60^o следва, че триъгълникът XMN e равностранен, т.е. < XNM = 60^o и МN = XN = XM = XY.

Нека Р е точка върху страната YZ такава, че < МNP = 100^o. Oт < NMP = 180^o - < XMY - < XMN = 40^o следва, че < NPM = 40^o и NP = NM = XM = XY.

От < PNZ = 180^o – XNM - < MNP = 20^o и < PZN = 20^o следва, че PZ = NP = XY = PT и следователно точките Р и Т съвпадат.

Имаме, че < XNT = 160^o и XN = NT, откъдето < NTX = < NXT = 10^o.

Тогава < XTY = 180^o - < NTX - < NTZ = 180^o – 10^o – 140^o = 30^o.

Да се върнем към решението на задачата.

Нека правата ВМ пресича страната АС в точка N.

От < AMN = < MAB + < MBA = 40^o = < MAN имаме, че АN = MN.

От < BNC = < MAN + < AMN = 80^o = < BCN имаме, че BN = BC = AC.

Следователно, BM = BN – MN = AC – AN = NC.

За триъгълника BNC знаем, че < BNC = < BCN = 80^o, < NBC = 20^o и NC = BM, откъдето, според лемата, следва, че < NMC = 30^o.

Окончателно, < АМС = < AMN + < NMC = 70^o.

Здравейте, моля за помощ за една задача по геометрия 7кл. Задачата е нр.3 и отговорът трябва да 18 см. т.е. б), но нещо не мога да го докажа... Надявам се някой да може да помогне.

Ъгъл CAP =ъг. APL кръстни
Но и ъг. PAL  = ъг. CAP
Тогава триъгълник APL е равнобедрен, т. е. AL=LP=18 см.
Редактирам, защото не виждам реакция на Elinoi от снощи, а и по погрешка бях написала E вместо L за ъгъл APL. Нужен ли е чертеж?