В мат нещо май те спъва, гемията потъва - спасител се явява, задачата решава и я обяснява.

Решение:

Нека петоъгълникът е ABCDE, както е показано на чертежа по-горе и нека в началото всичките му върхове са „празни“.

Започваме да записваме във върховете му 1, 2 или 3, като започваме от връх А и продължаваме по посока обратна на часовниковата стрелка.

Нека във връх А запишем 1. Случаите, в които във връх А записваме 2 или 3 се разглеждат аналогично.

За връх В имаме две възможности – или 2 или 3.

За връх С също имаме две възможности (двете числа различни от числото поставено във връх В).

Аналогично, за връх D също имаме две възможности (двете числа различни от числото поставено във връх С).

Следователно, ако във връх А е записано 1, то може да запишем 1, 2 или 3, последователно във върховете B, C и D по 2.2.2 = 8 различни начина.

Имаме само два начина, по които може да запишем 1, 2 или 3, последователно във върховете A → B → C → D така, че във върховете А и D да бъде записано 1: 1 → 2 → 3 → 1 или 1 → 3 → 2 → 1. Тогава, във връх E може да запишем или 2 или 3. Следователно, в този случай (т.е. когато във върховете А и D е записано числото 1) имаме общо 2.2 = 4 различни начина, по които да запишем 1, 2 или 3, последователно във върховете A → B → C → D → Е.

В останалите 6 случая, при които във връх А е записано 1, а във връх D или 2 или 3, имаме само една възможност за числото записано във връх Е – ако във връх D е записано 2, то във връх Е може да бъде записано само 3 или ако във връх D е записано 3, то във връх Е може да бъде записано само 2. Следователно, в този случай (т.е. когато във върховете А и D са записани различни числа) имаме общо 6 различни начина, по които да запишем 1, 2 или 3, последователно във върховете A → B → C → D → Е.

Следователно, ако във връх А е записано 1, то имаме общо 10 (4 + 6) различни начина, по които да запишем 1, 2 или 3, последователно във върховете B → C → D → Е.

Аналогично, ако във връх А е записано 2 имаме още 10 начина и ако връх А е записано 3 имаме още 10 начина.

Окончателно, имаме общо 30 (10 + 10 + 10) различни начина, по които може да запишем числата 1, 2 или 3 във върховете на петоъгълника.

За числа с малко на брой цифри е най-бързо и лесно с „дърво“.