В мат нещо май те спъва, гемията потъва - спасител се явява, задачата решава и я обяснява.

Нека трите цифри използвани в десетичния запис на числото са 1 ≤ a < b < c ≤ 9 (a не може да бъде 0, защото е първа цифра на трицифрено число).

Най-голямото трицифрено число записано с тези цифри е cba, а най-малкото – abc.

Търсим трицифрено число xyz, където x, y, z, са цифрите a, b, c в някакъв ред, за което xyz = cba – abc.

xyz = cba – abc = 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 99c – 99a = 99(a – c)

Имаме, че 2 ≤ c – a ≤ 9 – 1 = 8 (c – a = 1, т.е. c = a + 1 е невъзможно, защото тогава a < b < a + 1).

Следователно, xyz е някое от числата: 198 = 2.99; 297 = 3.99; 396 = 4.99; 495 = 5.99; 594 = 6.99; 693 = 7.99; 792 = 8.99.

Ако xyz = 198, то a = 1, b = 8, c = 9, но 981 – 189 = 792 ≠ 198 – противоречие.

Ако xyz = 297, то a = 2, b = 7, c = 9, но 972 – 279 = 693 ≠ 297 – противоречие.

Ако xyz = 396, то a = 3, b = 6, c = 9, но 963 – 369 = 594 ≠ 396 – противоречие.

Ако xyz = 495, то a = 4, b = 5, c = 9 и 954 – 459 = 495 – решение.

Ако xyz = 594, то a = 4, b = 5, c = 9, но 954 – 459 = 495 ≠ 594 – противоречие.

Ако xyz = 693, то a = 3, b = 6, c = 9, но 963 – 369 = 594 ≠ 693 – противоречие.

Ако xyz = 792, то a = 2, b = 7, c = 9, но 972 – 279 = 693 ≠ 792 – противоречие.

Нека b = a + x, c = b + y = a + x + y, d = c + z = a + x + y + z, където x, y, z са естествени числа (x, y, z ≥ 1).

Имаме, че x + y + z < a + x + y + z = d ≤ 60, т.е x + y + z < 60.

Тогава, (d – c)(c – b)(b – a) = xyz и следователно, xyz се дели на 2023 = 7.17.17.

Нито едно от числата x, y, z не може да се дели едновременно на 7.17 = 119 или на 17.17 = 289. Например, ако x се дели на 7.17 = 119, то x + y + z ≥ 119 + y + z > 60, но това е невъзможно. Аналогично, ако например y се дели на 17.17 = 289, то x + y + z ≥ x + 289 + z > 60, но това е невъзможно. Следователно, от числата x, y, z точно едно се дели на 7, но не се дели на 17, а останалите две се делят на 17, но не се делят на 7 или на 17.17.

Тогава, числата x, y, z в някакъв ред може да бъдат: 7, 17, 17; 14, 17, 17; 21, 17, 17; 7, 17, 34.

Ако x, y, z в някакъв ред са 7, 17, 17, то те може да бъдат подредени по три различни начина: 7, 17, 17; 17, 7, 17; 17, 17, 7.

Имаме, че 1 ≤ a и а + 7 + 17 + 17 = d ≤ 60, откъдето a ≤ 19, т.е. 1 ≤ а ≤ 19 или a може да приема 19 различни стойности.

Като комбинираме три възможни начина за подреждане на 7, 17, 17 с 19 възможни стойности на a, получаваме 3.19 = 57 „приятелски групи“.

Ако x, y, z в някакъв ред са 14, 17, 17, то те може да бъдат подредени по три различни начина: 14, 17, 17; 17, 14, 17; 17, 17, 14.

Имаме, че 1 ≤ a и а + 14 + 17 + 17 = d ≤ 60, откъдето a ≤ 12, т.е. 1 ≤ а ≤ 12 или a може да приема 12 различни стойности.

Като комбинираме три възможни начина за подреждане на 14, 17, 17 с 12 възможни стойности на a, получаваме 3.12 = 36 „приятелски групи“.

Ако x, y, z в някакъв ред са 21, 17, 17, то те може да бъдат подредени по три различни начина: 21, 17, 17; 17, 21, 17; 17, 17, 21.

Имаме, че 1 ≤ a и а + 21 + 17 + 17 = d ≤ 60, откъдето a ≤ 5, т.е. 1 ≤ а ≤ 5 или a може да приема 5 различни стойности.

Като комбинираме три възможни начина за подреждане на 21, 17, 17 с 5 възможни стойности на a, получаваме 3.5 = 15 „приятелски групи“.

Ако x, y, z в някакъв ред са 7, 17, 34, то те може да бъдат подредени по шест различни начина: 7, 17, 34; 7, 34, 17; 17, 7, 34; 17, 34, 7; 34, 7, 17; 34, 17, 7. 

Имаме, че 1 ≤ a и а + 7 + 17 + 34 = d ≤ 60, откъдето a ≤ 2, т.е. 1 ≤ а ≤ 2 или a може да приема 2 различни стойности.

Като комбинираме шест възможни начина за подреждане на 7, 17, 34 с 2 възможни стойности на a, получаваме 6.2 = 12 „приятелски групи“.

Окончателно, общият брой приятелски групи е равен на 57 + 36 + 15 + 12 = 120.