Учителят задача дава, въпросната те затруднява - за решението питай, на подкрепа тук разчитай :)

Русалке, благодаря!

12. Отговор: n = 102 – числата от 1 до 102 се записват с 1.9 + 2.90 + 3.3 = 198 цифри, 102 + 96 = 198

Основното понятие, с което ще работим при решението, е разликата между броя на числата и броя на цифрите, с които тези числа се записват.

Започваме да записваме числата в редица (1, 2, 3, . . .) и наблюдаваме как се променят едновременно броя на числата и броя на цифрите в редицата.

При едноцифрените числа (1, 2, . . . , 9 – общо 9 на брой), броят на числата е равен на броя на цифрите, с които те се записват.

Със записването на всяко двуцифрено число (10, 11, . . . , 99 – общо 90 на брой), броят на числата се увеличава с едно, а броят на цифрите се увеличава с две, т.е. след записване на всяко двуцифрено число, разликата между броя на цифрите и броя на числата се увеличава с едно.

Ако след едноцифрените запишем всички двуцифрени числа (от 10 до 99), броят на числата (общо 99) ще бъде с 90 по-малък от броя на цифрите, с които те се записват (189 = 1.9 + 2.90).

Следователно, са ни необходими и няколко трицифрени числа.

Със записването на всяко трицифрено число (100, 101, 102, . . . ), броят на числата се увеличава с едно, а броят на цифрите се увеличава с три, т.е. след записване на всяко трицифрено число, разликата между броя на цифрите и броя на числата се увеличава с две.

След записването на всички едноцифрени и всички двуцифрени числа, разликата между броя на числата и броя на цифрите, с които те се записват е равна на 90, а след записване на всяко трицифрено число, тази разлика се увеличава с две.

Следователно, трябва да запишем три трицифрени числа – 100, 101, 102.


13. Отговор: 32.

Търсените числа трябва да бъдат с различни цифри, защото в противен случай разликата между двете равни цифри ще бъде равна на 0, а такава разлика няма.

Нека наречем цифрите малка (М), средна (С) и голяма (Г).

Най-голямата разлика се получава между Г и М и следователно, тази разлика е равна на 7, понеже 7 е най-голямото от числата 3, 4, 7.

Следователно, имаме три възможности за М и Г – 0 и 7, 1 и 8 и 2 и 9.

За разликата между С и М имаме два варианта – да бъде равна на 3 (и съответно разликата между Г и С е 4) или да бъде равна на 4 (и съответно разликата между Г и С е 3).

Получаваме общо шест варианта за М, С и Г: I) 0, 3, 7; II) 0, 4, 7; III) 1, 4, 8; IV) 1, 5, 8; V) 2, 5, 9; VI) 2, 6, 9.

Във варианти I и II цифрите могат да се подредят по 4 начина (числото не може да започва с 0), а във варианти III – VI цифрите могат да се подредят по 6 начина.

Окончателно, броят на числата с търсеното свойство е равен на 2.4 + 4.6 = 32.

На какви състезания дават подобни задачи?  Колко деца се справят с тях?

Как бихте решили следната задача.
Окръжност с център О и радиус 3см.
АВ е диаметър, CD е хорда и е 3см.
Ако М е среда на дъгата AD и N e среда на дъгата BC намерете ъглите на триъгълника MNO.

Диагонал на окръжност ми е ново. Да не е диаметър или се има предвид друго?

Диаметър разбира се. Телефонът ми си има свое мнение 😜

Dincho, то има няколко случая на взаимното разположение на AB и CD.

Е, точно затова е въпросът ми....

Моят опит да опиша случаите:
1. C и D лежат в една и съща полуравнина отделена от AB
1.1. Дъгите АD и BC нямат обща част
1.2. Дъгите AD и BC имат обща част
2. CD пресича АB

За капак не казва, дали М и N са среди на малките или големите дъги. Дали за всяко разположение трябва да се разгледат и тези възможности: среди на двете малки дъги, на двете големи или комбинация?

И аз се подреждам да видя идеи.

Ant12, сърдечни благодарности за подробните решения!

Задачите са от тазгодишното издание на "Иван Салабашев" - състезанието е с висока трудност и обикновено децата, които се справят с всичките 15 задачи, се броят на пръсти.

Ако се разположат "удобно", без да се пресичат и сложим буквите обратно на час. стрелка, все едно надписваме четириъгълник, е лесно:
централни ъгли, равни дъги, равнобедрени триъгълници...
MNO 120, 30, 30

Ако се разменят местата на С и D или CD пресича AB, вече не мога. 🤷

Изобщо не предполагах, че дете в четвърти клас ще се справи, но явно в обкръжението ни няма математически гении.
В същност каква е целта на тези състезания - да открият гениалните деца?
_{Мислех си, че ако задачите са трудни, но свързани с нормалните човешки дейности ще има повече полза от тези олимпиади. В крайна сметка и обикновени инженери, архитекти, икономисти, ...   - много са професиите, които  имат нужда от  добри математици, без да са гениални.
Но явно и в математиката тенденциите са както в спорта.}

А, получи се ъгъл МNO с изразяване и в другите два случая, ако M и N  са среди на малките дъги. Въпросът е къде свършва тази задача - случаите да са среди на големите и двете комбинации едната точка е среда на малката, другата на голямата и после обратно.

Akо някой има търпение и време... Ще бъда благодарна на разписване на отговорите.

Солничка и Барба, благодаря за времето.
Вчера я въртях тази задача в няколкото варианта и реших, че се престаравам. Вероятно се иска само решението предложено от Барби.

Анитса, първата
50м за 3 секунди
1000м за една минута
60км/час.
На отиване време t и изминат път 60t.
На връщане скорост 1.4*60=84км/час. И времето е t-2. Пътят е същият
60t=84(t-2)
T=7
60*7=420 км