Задача ми се струва тежка, някъде допускам грешка. Моля някой да се включи и отговора да получи.

Обяснението на решението е следното.

От условието следва, че съществуват цели неотрицателни числа m, n, k, такива че

X = 5m + 1 = 8n + 2 = 11k + 3.

Тогава,
3X + 2 = 3(5m + 1) + 2 = 15m + 5 = 5(3m + 1) се дели на 5,
3X + 2 = 3(8n + 2) + 2 = 24n + 8 = 8(3n + 1) се дели на 8,
3X + 2 = 3(11k + 3) + 2 = 33k + 11 = 11(3k + 1) се дели на 11.

Важният въпрос е „Как точно хрумва на един петокласник, че трябва да разгледа числото 3X + 2?”

Няма да се впускам в теоретични постановки и ще се опитам да дам прост алгоритъм, който може да се ползва наготово от малки ученици, които се сблъскват с подобни задачи.

Обобщена задача: Кое е най-малкото естествено число X, което дава остатък 1 при деление на a + d, 2 при деление на a + 2d и 3 при деление на a + 3d, където a и d са взаимно прости естествени числа?

За да приложим алгоритъма, трябва да са налице 3 условия:

1). Всеки два от трите делители a + d, a + 2d и a + 3d да бъдат взаимно прости.

В „нашата“ задача това е изпълнено, числата 5, 8 и 13 са две по две взаимно прости.

2). Разликата между делителите да бъде една и съща, за да може да се представят във вида a + d, a + 2d, a + 3d.

В „нашата“ задача това е изпълнено: 11 – 8 = 8 – 5 = 3. По този начин определяме d, т.е. в „нашата задача d = 3 = 11 – 8 = 8 – 5;

3). Числата a и d трябва да са взаимно прости. Намираме a като от най-малкия делител извадим d.

В „нашата“ задача най-малкият делител е 5, откъдето a = 5 – 3 = 2. Числата a = 2 и d = 3 са взаимно прости и следователно може да приложим алгоритъма.

Алгоритъм: Числото dX + a се дели едновременно на a + d, a + 2d и a + 3d и следователно,
dX + a трябва да се дели на НОК (a + d, a + 2d, a + 3d).

В „нашата“ задача 3X + 2 се дели едновременно на 5 = 2 + 3, 8 = 2 + 2.3 и 11 = 2 + 3.3 и следователно,
3X + 2 се дели на НОК (5, 8, 11) = 440.

Пример 1: Кое е най-малкото естествено число, което дава остатък 1 при деление на 3, 2 при деление на 5 и 3 при деление на 7?

Анализ: Числата 3, 5 и 7 са две по две взаимно прости.

Имаме, че 7 – 5 = 5 – 3 = 2, откъдето, d = 2.

Имаме, че 3 – 2 = 1, откъдето, a = 1. Получихме, че a = 1 и d = 2 са взаимно прости.

Условията са налице и може да приложим алгоритъма.

Решение:

Числото 2X + 1 се дели едновременно на 3, 5 и 7 и т.н.

Пример 2: Кое е най-малкото естествено число, което дава остатък 1 при деление на 9, 2 при деление на 14 и 3 при деление на 19?

Анализ: Числата 9, 14 и 19 са две по две взаимно прости.

Имаме, че 19 – 14 = 14 – 9 = 5, откъдето, d = 5.

Имаме, че 9 – 5 = 4, откъдето, a = 4. Получихме, че a = 4 и d = 5 са взаимно прости.

Условията са налице и може да приложим алгоритъма.

Решение:

Числото 5X + 4 се дели едновременно на 9, 14 и 19 и т.н.

Пример 3: Кое е най-малкото естествено число, което дава остатък 1 при деление на 13, 2 при деление на 19 и 3 при деление на 25?

Анализ: Числата 13, 19 и 25 са две по две взаимно прости.

Имаме, че 25 – 19 = 19 – 13 = 6, откъдето, d = 6.

Имаме, че 13 – 6 = 7, откъдето, a = 7. Получихме, че a = 7 и d = 6 са взаимно прости.

Условията са налице и може да приложим алгоритъма.

Решение:

Числото 6X + 7 се дели едновременно на 13, 19 и 25 и т.н.

Роза Борисова,
15 задача се решава със знания за 6 клас. Кубът има 6 страни. Повърхнината представлява сбор от лицата на шестте страни. Ако разделите 96 на 6 ще получите 16. Тъй като страните на куба са квадрат, то лицето от 16см се получава при страна 4см. 4*4=16
Обемът е 4*4*4= 16*4= 64 куб. см.
7 зад. Равнобедрен триъгълник означава, че две от страните му (бедрата) са равни, ъглите при основата също са равни, но те в тази задача не са нужни. Периметърът е обиколката или сборът от трите страни. Имате основата - 16см. Ако от 36 извадите основатаще получите сбора на бедрата, който трябва да разделите на 2. 36-16=20:2=10. Намерихме, че бедрото на този триъгълник е 10см. За да се намери лицето Ви трябва височината към основата. Тя разделя основата на две равни части, всяка от които по 8см. Получават се два еднакви правоъгълни триъгълника с катет 8см и хипотенуза 10см. Остава да намерите другия катет. По питагоровата теорема a^2 + b^2=c^2 заместваме 8*8+b^2= 10*10
b^2= 100-64= 36.
b= √36= 6
ha=6sm
Намерихме височина.
S=( a*ha)/2= 16*6/2= 96:2=48 sm^2
14 зад.
Редактирам - за позиция 1 имаме 4 варианта, 4 варианта са и за втората позиция и 3 за третата 4*4*3=48
Да започнем с 3 има три комбинации - 035, 037, 039, възможните комбинации с 0 са 12, защото за втората позиция има 4 варианта, а за третата - 3.  За първата позиция има 5 различни възможности  5*4*3= 60
035; 037; 039
053; 057; 059
073; 075; 079
093; 095; 097
305; 307; 309
350; 357; 359
370; 375; 379
и т.н.
8 зад. a= 10sm, b=8sm, e=6sm
e^2 + f^2= 2(a^2 + b^2)
6*6+f^2= 2(10*10+8*8 )
f^2= 2*164 - 36= 328 - 36= 292
f= √292 = √ 4* 73= 2√73

Ант, благодаря за решенията, написани ясно, точно и достъпно.

Мама Ру, на 14 зад. се търсят трицифрени числа - изключваме вариантите, които започват с нула:

4.4.3 = 48 числа

И аз много благодаря, Ант12! Рядко си позволявам да пиша постове само за да кажа благодаря, за да не спамя излишно темата. Но след неуспешните ми нощни опити да си я обясня нямаше нещо по-приятно да прочета обяснението и алгоритъма, седнал на морените над хижа Кумата довечера пак ще си пререша примерите

Алиса, права си. Благодаря

От кой сборник са тези задачи за 10. клас? Изглеждат доста по-лесни в сравнение със задачите в Регалия

помощ за тези задачи:

за ВМ получихме 3 корен 5. За височината на основата 3 коен от 3

BM не ви трябва. tg на търсения ъгъл е СМ/височината в основата = 3/3 корен 3 или ъгълът е 30. (редактирам си техническата грешка)

За другата се ползва АС^2=АР.АВ
Като намерим АС ползваме формула за лице 1/2.АС.АВ.sin ъгъл BAC.

Защо АС^2=АР.АВ ? Не е казано, че е правоъгълен

Zlati, това е зависимост, която ще имат и на листа с формулите. Допирателна към окръжност и секуща през същата точка като имаме.

Получава се 12корен от 2. Няма такъв отговор

Молба за още една задача за 9 клас

solnichka, една покравка

х-1 се дели на 5 => 8х-8 се дели на 40
(х-1=5.n => 8x-8=40.n)
х-2 се дели на 8 => 5х-10 се дели на 40
(х-2=8.m => 5x-10=40.m)
Вадим изразите и става 3х+2 разликата ще се дели на 40.
((8x-8)-(5x-10)=40n-40m => 3x-2=40(n-m))
Следва, че и за да се сели на 11, то най-малкото възможно е 40 . 11=3х+2
х=146