Математици, тук се спрете, моля бързо помогнете и задачата решете!

Благодаря.

Струва ми се, че „напипах” решение.

Според мен основното в тази задача е да се сетиш, че:
А) Ако има поне една сума от 10 последователни числа, която е по-малка от 10, то и всички останали суми от 10 последователни числа са по-малки от 10;
Б) Ако има поне една сума от 10 последователни числа, която е по-голяма от 10, то и всички останали суми от 10 последователни числа са по-големи от 10;

Нека означим числата по посока на часовниковата стрелка с А1, А2, А3, . . . , А99, А100 и съответно сумите от 10 последователни числа с В1 = А1 + А2 + . . . + А10, В2 = А2 + А3 + . . . + А11, . . . , В100 = А100 + А1 + . . . + А9. Числата В1, В2, . . . , В100 са четни, защото са сбор от нули и двойки и следователно могат да приемат само стойностите 0, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 20 (10 не може по условие)

Понеже В2 = В1 + А11 – А1, то за В2 имаме три варианта: 1) В2 = В1 – 2; 2) В2 = В1; 3) В2 = В1 + 2.

Нека В1 < 10, т. е. В1 = 0, 2, 4, 6 или 8. Тогава В2 може съответно да бъде най-много 2, 4, 6, 8 или 10, но по условие В2 не може да е 10, т.е. В2 може да бъде най-много 8. Следователно, ако В1 < 10, то и В2 < 10, но тогава следвайки същата логика и В3 < 10, В4 < 10, . . . , В100 < 10.

Понеже S = (В1 + В2 + . . . + В100)/10, то в този случай Smin = (100 × 0)/10 = 0 и Smax = (100 x 8 )/10 = 80.

Сега трябва да покажем, че всички суми S = 0, 2, 4, . . . , 78, 80 могат да бъдат реализирани.
Нека подредим числата по следния начин: 000000хххх000000хххх . . . 000000хххх – шест нули, последвани от четири хикса, където х=0 или х=2 или общо 60 нули и 40 хикса. Всяка последователност от 10 числа ще съдържа поне шест нули и следователно не може да бъде равна на 10. От друга страна, ако заменим k хикса с 2 и 40-k хикса с 0, 0 ≤ k ≤ 40, може да получим всяка от сумите 0, 2, 4, . . . , 78, 80, общо 41 на брой   

Нека В1 > 10, т. е. В1 = 12, 14, 16, 18 или 20. Тогава В2 може съответно да бъде най-малко 10, 12, 14, 16 или 18, но по условие В2 не може да е 10, т.е. В2 може да бъде най-малко 12. Следователно, ако В1 > 10, то и В2 > 10, но тогава следвайки същата логика и В3 > 10, В4 > 10, . . . , В100 > 10.

Понеже S = (В1 + В2 + . . . + В100)/10, то в този случай Smin = (100 × 12)/10 = 120 и Smax = (100 × 20)/10 = 200.

Сега трябва да покажем, че всички суми S = 120, 122, 124, . . . , 198, 200 могат да бъдат реализирани.
Нека подредим числата по следния начин: 222222хххх222222хххх . . . 222222хххх – шест двойки, последвани от четири хикса, където х=0 или х=2 или общо 60 двойки и 40 хикса. Всяка последователност от 10 числа ще съдържа поне шест двойки и следователно не може да бъде равна на 10. От друга страна, ако заменим k хикса с 2 и 40-k хикса с 0, 0 ≤ k ≤ 40, може да получим всяка от сумите 120, 122, 124, . . . , 198, 200, общо 41 на брой.

Общо 82 възможности.   

P. S. Решението ми „светна” след отговора на Xixibg.

Сори за спама, но искам да приветствам Хихи и в този форум:) Привет   

Благодаря за приветствията 

Браво.Точно това е идеята на задачата.

Все още се опитвам да "заблуждавам" сина ми, че мога да реша всички задачи за 6-ти клас. При тази специално "нагласих" решението по твоя отговор.

  Защо да "заблуждаваш".Няма трудни задачи за 6-ти клас.Поне така казвам на децата, когато ме питат.А иначе решението ти е добро.Аз щях да предложа подобно решение, просто малко по-подредено.

Моля за помощ: Затрудниха ни 2 задачи
1 В остроъгълния триъгълник АВС ъгъл ВАС=45,а CD и AM са височини.Докажете,че MD е ъглополовяща на ъгъл АМВ
1Ако х^2+2010=y^2 докажете ,че решението не може да е цяло число
Благодаря на математиците предварително   

Тази задача сме я коментирали доста пъти в седмокласната тема, но за теб ще направя решение с чертеж. Само изчакай малко:)
Да не е за НПМГ

http://postimg.org/image/rmehba6rr/

Веднага ме разкри 
Ганис благодаря   

2)y^2-x^2=2010.
Да разгледаме лявата страна: y^2-x^2=(y-x)(y+x) За тези цели числа има няколко възможности:

1)х, у- четни=>сборът и разликата ще са четни множители
2)х и у- нечетни=>сборът и разликата пак ще са четни множители
3) едното е четно, другото е нечетно=>сборът и разликата ще са нечетни множители

2010=2010.1; 1005.2; 201.10; 335.6; 67.30, 134.15; 670.3; 402.5, т.е., то се представя във всеки един  момент като произведение на четен и нечетен множител=>уравнението няма решение в цели числа.

Ако има нещо неясно по решенията, свиркай Ако има и други задачи, пак 

 
ще свиркам къде ще мърдам 
Ганис заради теб 73 ми мина доста напред в желанията 

  Всички математици в 73 СОУ горен курс са железни