Задача ми се струва тежка, някъде допускам грешка. Моля някой да се включи и отговора да получи.

Задача 1. Отговор: 46

Решение:

За краткост ще наричаме всяко действие на ламята „ход“, т.е. имаме ход с 6, 9 или 20 глави.

Основната идея е да намерим най-голямото число N, което не може да се представи като комбинация от ходове, но всяко от числата N + 1, N + 2, . . . , N + 6 може да се представи като комбинация от ходове.

Тогава, всяко естествено по-голямо от N + 6 може да се получи, като към някое от числата от N + 1 до N + 6 се добавят няколко хода с 6 глави.

Числата от N + 1 до N + 6 са 6 последователни числа и следователно, точно 2 от тях дават остатък 0, точно 2 дават остатък 1 и точно 2 дават остатък 2 при деление на 3.

Ако има ходове само с 6 и/или 9 глави може да се получат само числа, които дават остатък 0 при деление на 3.

За да се получи число, което дава остатък 1 при деление на 3, ни трябват 2 хода с 20 глави – 2.20 = 40 = 13.3 + 1 и за да се получи число, което дава остатък 2 при деление на 3, ни трябва 1 ход с 20 глави – 20 = 6.3 + 2.

Последователно започваме проверка с числата 43 (3 + 2.20), 44, 45 и т.н. и установяваме, че числото 46 не може да се представи  като комбинация от ходове, но всяко от числата 47, 48, . . . , 52 – може.

Числото 46 дава остатък 1 при деление на 3 (46 = 15.3 + 1) и следователно, ни трябват 2 хода с 20 глави, но няма как от 43 да получим 46.

От друга страна,
47 = 3 + 4.6 + 20
48 = 3 + 5.9
49 = 3 + 6 + 2.20
50 = 3 + 3.6 + 9 + 20
51 = 3 + 8.6
52 = 3 + 9 + 2.20.    


Задача 3. Отговор: 112

Решение:

Основната идея е, че за всяко естествено число k (k= 1, 2, . . . , 100), числата 2k – 1 и 2k стоят едно срещу друго.

Да разгледаме числото 2. Единственото по-малко от него число 1 не може да бъде, нито сред 99-те числа преди него, нито сред 99-те числа след него. Следователно, 1 е точно срещу 2.

Да разгледаме числото 4. От числата 1, 2 и 3, които са три на брой (нечетен брой), точно едно трябва да бъде сред 99-те числа преди 4, точно едно трябва да бъде сред 99-те числа след 4 и точно едно трябва да бъде срещу 4. От друга страна, 1 и 2 са едно срещу друго и следователно, 3 е точно срещу 4.

Да разгледаме числото 6. От числата 1, 2, 3, 4 и 5 които са пет на брой (нечетен брой), точно две трябва да бъдат сред 99-те числа преди 6, точно две трябва да бъдат сред 99-те числа след 6 и точно едно трябва да бъде срещу 6. От друга страна, 1 и 2 са едно срещу друго и 3 и 4 са едно срещу друго и следователно, 5 е точно срещу 6.

С аналогични разсъждения достигаме до извода, че 111 и 112 са едно срещу друго.

  
Задача 4.

Решение:

Ще наричаме пътищата AB, BC, CD, DE, EA „обиколни“, пътищата AF, BF, CF, DF, EF – „вътрешни”,  населените места A, B, C, D, E – “външни“ и населеното място F – “вътрешно“.

Ако маршрутът на автобуса не съдържа вътрешни пътища, то той задължително трябва да мине през пътя BC (от В към С или от С към В). За да тръгне от А и да пристигне отново в А, като се движи само по обиколните пътища, автобусът трябва да направи поне една пълна обиколка, която внаги включва и пътя ВС.

Нека маршрутът съдържа и вътрешни пътища.

В този случай, ключовото наблюдение е, че маршрутът е последователност от двойки вътрешни пътища, като всяка такава двойки започва от някое от населените места А, B, C, D или E, минава през F и завършва отново в А, B, C, D или E. Например, AF – FD или BF – FB. Между всяка двойка последователни вътрешни пътища има нула, един или няколко последователни обиколни пътища.

За всяка двойка последователни вътрешни пътища, сумата от техните дължини се дели на 6 – 15 + 15 = 30, 15 + 21 = 36, 15 + 27 = 42, 21 + 21 = 42, 21 + 27 = 48, 27 + 27 = 54.

Дължините на всички външни пътища, с изключение на ВС (21), също се делят на 6 – 12, 24, 18, 36.

Ако маршрутът не включва пътя ВС, то неговата дължина трябва да се дели на 6 – сума от числа, които се делят на 6.

Числото 3333 дава остатък 3 при деление на 6 и следователно, маршрутът трябва да включва и пътя ВС.